Le prime equazioni differenziali compaiono, in matematica, poco dopo la teoria del calcolo differenziale, in relazione a numerosi problemi fisici, come la teoria dell’elasticità. La traduzione dei fenomeni naturali in termini di precisi modelli matematici rappresenta un’operazione scontata per il matematico o per il fisico, i quali considerano il modello stesso come unica realtà conoscibile, ma, nella prima metà del Novecento, l’utilizzo delle equazioni differenziali per la costruzione di modelli funzionanti viene esteso anche alla sociologia, alla biologia, alla chimica e all’economia. Di particolare rilievo risultarono gli studi matematici dei problemi delle popolazioni, poiché vi sono evidenti similitudini tra i modelli di popolazione e i modelli che descrivono i sistemi meccanici, nelle ipotesi in cui gli organismi viventi siano assimilabili ai compprtamenti di un gas.
I modelli teorizzati durante l’epoca d’oro della biologia teorica, che ebbe il suo culmine nel 1927 con le pubblicazioni di Vito Volterra, possono essere adoperati per spiegare altri fenomeni fisici e non, quali l’eliminazione delle tossine in un organismo o la variazione di massa durante un decadimento radioattivo. In particolare, si può studiare l’ occupazione delle palestre in Pokemon Go sfruttando i risultati e le idee sul trattamento matematico dei problemi di ecologia delle popolazioni.
Si consideri una palestra che nel tempo t=0 è bianca, ovvero non è stata ancora occupata da nessun giocatore o è appena stata abbattuta (da un punto di vista matematico, queste due ipotesi sono equivalenti, poiché si può trascurare ciò che è successo in tempi negativi). Nell’intorno circolare della palestra vi saranno N giocatori dello stesso team con N≥1; essi inseriranno un Pokemon nella palestra libera. Al variare del livello di notorietà x della palestra, sarà possibile o meno inserire Pokemon senza lottare. La x dipenderà dal numero di lotte sostenute dalla occupazione del primo Pokemon, dal numero di Pokemon inseriti e dai punti lotta di quest’ultimi. Per analizzare il problema, si adopera la equazione di Malthus, che storicamente rappresenta il primo modello di dinamica delle popolazioni
N'(x)=εN(x)
Il modello suppone che:
- La popolazione è omogenea (i Pokemon sono indistinguibili per comportamento e il livello dei giocatori è trascurabile)
- Sono assenti antagonisti per l’utilizzo delle risorse (si ipotizza che vi sia un solo team sul territorio)
- La popolazione è invariante (non sono contemplati fenomeni di immigrazione e di emigrazione degli Allenatori Pokemon)
- L’habitat è invariante (vi sono infiniti posti nella palestra)
In queste condizioni, le uniche cause possibili per la variazione del numero di Pokemon nella palestra sono il tasso di inserimento, associato al numero di giocatori che lasciano il Pokemon nella palestra, e il tasso di ban, legato al numero di utenti a cui non è più consentito adoperare il proprio account (cheating, uso di bot o fake gps); queste due quantità si assumono come costanti nel tempo.
Si introducono tre funzioni:
- N(x) numero di pokemon al livello di notorietà x
- λ tasso di inserimento per unità di x
- μ tasso di ban per unità di x
Ovviamente μ e λ assumono sempre valori positivi e sono proporzionali a N(x). La quantità ε=λ-μ della equazione di Malthus è nota come potenziale biologico della popolazione e riveste un ruolo fondamentale nella determinazione dell’andamento di N(x). La soluzione del problema, assegnata dalla soluzione della equazione differenziale con condizione iniziale N(0), numero di Pokemon in palestra per x=0, è
N(x)=N(0)e^(εx)
Escludendo il caso banale, in ogni istante deve valere la condizione N(x)>0 e il segno della derivata dipenderà unicamente dal potenziale biologico. Si distinguono tre casi:
- ε>0 il numero di pokemon assegnati alla palestra supera quello degli utenti bannati e N(x) cresce esponenzialmente
- ε=0 Pokemon aggiunti e tolti si compensano e N(x) rimane costante
- ε<0 il numero di ban supera le assegnazioni e la palestra tende a tornare rapidamente bianca
I tre comportamenti sono riassunti nel seguente grafico, in cui si denota il livello di notorietà della palestra con t invece che con x.
Autore: Shadowrosis
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