Nel precedente articolo (Allenare i Pokemon con le equazioni differenziali: Analisi dei livelli occupazionali di una palestra bianca), è stato affrontato il problema della occupazione di una palestra bianca a opera di N giocatori dello stesso team. Tale modello, che si ispira agli studi pubblicati da Thomas Robert Malthus nel 1798 sotto il nome di “Esame sommario del principio di popolazione”, si basa su ipotesi talmente semplificate da poter essere ricondotte al caso ideale. Per passare dal caso ideale al modello reale bisogna introdurre nel modello di crescita esponenziale un fattore di attrito che tiene conto della competizione fra giocatori dello stesso team. A seguito delle polemiche scaturite dalla teoria di Malthus, la questione della crescita della popolazione fu ripresa nel 1837 dal biologo e matematico olandese Pierre Francois Verhulst; le correzioni che egli effettuò sono di fondamentale importanza per definire, a partire dalla palestra ideale, il comportamento della palestra bianca reale.
Le correzioni effettuate da Verhulst si basano su meccanismi intrinseci sia all’habitat che alla popolazione:
- L’habitat può variare in maniera indipendente rispetto alla presenza della popolazione e offre alla stessa risorse limitate (la palestra presenta un numero di posti limitati e tali posti possono cambiare indipendentemente dalla presenza dei giocatori del team)
- La popolazione può inquinare l’habitat in cui vive, riducendo la disponibilità di risorse (un allenatore, dopo aver assegnato il proprio pokemon alla palestra, può decidere di non alzare la notorietà della stessa, riducendo la possibilità degli altri giocatori di inserire pokemon senza lottare)
- La popolazione subisce una trasformazione delle proprie condizioni di vita per valori limite della densità, in accordo con l’effetto logistico (maggiore è il numero di pokemon assegnati alla palestra e minore sarà il tasso di inserimento)
Un modo semplice di tenere conto di questi fattori è assumere che i tassi di inserimento e di ban dipendano linearmente dal numero di individui presenti. In particolare, il tasso di ban dovrà tenere conto di due fenomeni: la cancellazione dell’account Pokemon Go di utenti che non hanno rispettato appieno le regole e la sconfitta dell’ultimo pokemon ad opera di un team rivale. Poiché la teoria di Verhulst può essere letta come una correzione della teoria di Malthus, basta modificare il potenziale biologico per passare dalla equazione di Malthus alla equazione logistica di Verhulst.
μ(N)=μ+ηN λ(N)=λ-ξN
Si calcola il nuovo potenziale biologico, detto potenziale biologico intrinseco alla popolazione, che dipenderà linearmente da N
ε(N) = λ(N)-μ(N) = λ-ξN-μ+ηN = (λ-μ)-N(ξ-η)
La quantità reale (λ-μ) rappresenta il potenziale biologico di Malthus, mentre (ξ-η) è uguale a 1/K, dove k è la capacità portante dell’ambiente. In conclusione, il potenziale biologico di Verhulst è
ε(N)=ε(1-N/K)
Sostituendo il nuovo potenziale a quello malthusiano si ottiene la equazione logistica di Verhulst, con N(0) pari al numero di pokemon assegnati alla palestra col livello di notorietà x=0
N'(x)=εN(x)(1-N(x)/K)
La soluzione del problema è N(X) = KN(0)/[N(0)+(K-N(0))e^-εx]. Si osserva che la N(x) tende asintoticamente al valore K, indipendentemente dai valori iniziali assegnati, come emerge dalla sigmoide logistica.
In conclusione
- I livelli di occupazione di una palestra sono fortemente influenzati dal numero di pokemon che sono già stati assegnati
- Mano a mano che i posti di una palestra vengono occupati, diminuisce la probabilità di inserimento e aumenta la probabilità che un utente sia bannato o che sia tolto un pokemon dalla stessa
- La capacità portante dell’ambiente coincide col numero di posti occupabili in una palestra bianca. Poiché K=10, ogni palestra tenderà ad avere, all’aumentare del livello di notorietà, 10 pokemon
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